Aplicaciones de las C* - Algebras a la Mecánica Cuántica

En el presente trabajo no se tiene la intención de desarrollar toda la teoría completa
de C-álgebras si nó de centrarnos en resultados importantes. Este trabajo consta de
tres capítulos. En el primero desarrollaremos sin demostrar la teoría básica necesaria de
espacios de Banach, topologías débiles, espacios de Hilbert, Operadores sobre espacios
de Hilbert, los espacios de probabilidad y álgebras de Von Neumann. En el segundo
capítulo estudiaremos teoría de las C-álgebras; demostraremos el Teorema de Gelfand
el cual caracteriza todas las C-álgebras conmutativas (ver el Teorema 2.35), para
luego introducir el concepto de representación que nos permitirá caracterizar las C-
álgebras en general y atraves de la construción GNS (Gelfand-Naimark-Segal) (ver el
Teorema 2.78), seguidamente en este capítulo nos ocuparemos de los estados puros
y sus principales resultados ya que estos tienen que ver de manera directa con la
Mecánica Cuántica. Finalmente en el tercer capítulo definiremos la cuantización (ver
Definición 3.1) la cual nos permite asociar a un espacio de Hausdorff X localmente
compacto un espacio de Hilbert H mediante una aplicación positiva Q : C0 (X) !
B (H), seguidamente demostraremos que existe una correspondencia biyectiva entre
las cuantizaciones y las medidas de valor operador positivo POVM, para finalmente
demostrar el Teorema de Stinespring (ver Teorema 3.5 ) el cual nos dice que si Q :
A ! B es una aplicación completamente positiva entre C-álgebras con unidad tal que
Q(1) = 1, (HX , X ) es la representación GNS de B entonces existe una representación

HX , X

de A y una isometría parcial W : HX ! HX (WW = 1) , así si S un espacio
de Hausdorff localmente compacto (Interpretado como un espacio clásico de fase), y
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ÍNDICE GENERAL 5
considerando la incrustación  !  de S en algún espacio de Hilbert H tal que cada
 es unitario (es decir un estado clásico puro es llevado a un estado cuántico puro),
debería haber una medida μ en S tal que
Z
S
dμ()( 1, )( , 2) = ( 1, 2)
para todo 1, 2 2 H.
Podemos entonces considerar A = C0(S), B = B(H), X (A) = A para todo A, de
donde resulta que HX = L2(S, dμ) y la aplicación W : H ! HX esta dado por
W () = ( , ).
y la representación (C0(S)) está dada por
(f)() = f()().
lo forma el núcleo de la realización de mecánica cuántica sobre el espacio de fase.

Conde Zapata, Gerónimo Alberto - Puno : Universidad Nacional del Altiplano. Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura. Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas - 2013
Para Optar el Titulo Profesional : Licenciado en Ciencias Físico Matemáticas